Question

【題目】如圖，拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為，交x軸于點(diǎn)A，并截圓所得弦長(zhǎng)為，M為平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，△MAF周長(zhǎng)為6．

（1）求拋物線方程以及點(diǎn)M的軌跡的方程；

（2）“過軌跡的一個(gè)焦點(diǎn)作與軸不垂直的任意直線”交軌跡于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，則為定值，且定值是”.命題中涉及了這么幾個(gè)要素：給定的圓錐曲線，過該圓錐曲線焦點(diǎn)的弦，的垂直平分線與焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸的焦點(diǎn)，的長(zhǎng)度與、兩點(diǎn)間距離的比值.試類比上述命題，寫出一個(gè)關(guān)于拋物線的類似的正確命題，并加以證明.

（3）試推廣（2）中的命題，寫出關(guān)于拋物線的一般性命題（不必證明）.

Answer 1

【答案】（1），；（2）過拋物線的焦點(diǎn)作與軸不垂直的任意直線，交拋物線于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，則為定值，且定值為，證明見解析；（3）過拋物線的焦點(diǎn)作與對(duì)稱軸不垂直的任意直線，交拋物線于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交對(duì)稱軸于點(diǎn)，則為定值，且定值為．

【解析】

（1）根據(jù)弦長(zhǎng)公式可求出弦心距，即得準(zhǔn)線的方程和點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可求出拋物線方程，再根據(jù)△MAF周長(zhǎng)為6，設(shè)出點(diǎn)，根據(jù)橢圓的定義即可求出點(diǎn)M的軌跡的方程；

（2）根據(jù)題意類比即可寫出；

（3）利用（2）中原理，即可寫出．

（1）設(shè)圓心到直線的距離為，∴，解得．

所以準(zhǔn)線：，點(diǎn)，點(diǎn)，即有，∴，即拋物線．

因?yàn)?/span>，所以，即點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為的橢圓，∴，解得，即有．

故點(diǎn)M的軌跡的方程為．

（2）關(guān)于拋物線的類似的正確命題為：過拋物線的焦點(diǎn)作與軸不垂直的任意直線，交拋物線于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，則為定值，且定值為．證明如下：

如圖所示：

設(shè)直線：

由得，，設(shè)，

所以，，

即的中點(diǎn)坐標(biāo)為，

的垂直平分線的方程為：，令，解得，

∴．

又因?yàn)?/span>，所以．

（3）過拋物線的焦點(diǎn)作與對(duì)稱軸不垂直的任意直線，交拋物線于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交對(duì)稱軸于點(diǎn)，則為定值，且定值為．