Question

【題目】設外接圓上三段弧的中點依次為,其關于的對稱點依次為.若頂點與對應旁切圓切點的連線交于一點 (界心),為的垂心，證明：在以為直徑的圓上.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

記的三邊長為,,為的內心.

先證明一個引理.

引理 頂點與界心連線平行且等于2倍內心與其對應邊中點的連線.

證明:如圖,設為的內心,為的中點,為切點,為對應角平分線的交點,為旁切圓的切點,為界心,為與內切圓的交點.

對與截線應用梅涅勞斯定理得.

將,,,代入上式化簡得

因為為的中點,為切點,為旁切圓的切點,所以,.

由位似變換,知為的中點.

故.

回到原題.如圖,延長與的延長線交于點.

由引理,知，且所以,為的中點.

又點與關于對稱,于是.由對角線互柑平分的性質,知四邊形為平行四邊形.

因此, .

延長與外接圓交于點,聯結.

因為為垂心,關于的對稱點在外接圓上,所以,.

于是,.則.

從而,四邊形為平行四邊形.

又為外接圓的直徑,故.易知, .

所以, ,

同理, ,.故本題得證.