Question

給定兩個長度為1的平面向量

OA

和

OB

，它們的夾角為120°．
（1）求|

OA

+

OB

|；
（2）如圖所示，點C在以O為圓心的圓弧

AB

上運動．若

OC

=x

OA

+y

OB

，其中x，y∈R，求x+y的最大值？
（3）若點E、點F在以O為圓心，1為半徑的圓上，且

OE

=

FO

，問

BE

 與

AF

的夾角θ取何值時，

BE

•

AF

的值最大？并求出這個最大值．

Answer 1

分析：（1）直接利用向量的模的運算法則，求出|

OA

+

OB

|；
（2）建立坐標系如圖，推出A，B，C的坐標，利用

OC

=x

OA

+y

OB

，求出x，y通過三角函數求出x+y的最大值．
（3）設出E，F，直接利用

BE

•

AF

計算，求出最大值，推出向量的夾角的大小即可．

解答：解：（1）|

OA

+

OB

|；

( OA + OB )2

=

OA 2+2 OA • OB + OB 2

=

1+2×1×1×(- 1 2 )+1

=1       （5分）
（2）如圖所示，建立直角坐標系，則A（1，0），B(-

1

2

，

3

2

)，C（cosθ，sinθ）．

由

OC

=x

OA

+y

OB

，得cosθ=x-

y

2

，sinθ=

3 y

2

．
即x=cosθ+

3

3

sinθ   ， y=

2 3

3

sinθ．則x+y=

3

sinθ+cosθ=2sin(θ+

π

6

)
又θ∈[0，

2π

3

]，則θ+

π

6

∈[

π

6

，

5π

6

]，故當θ=

π

3

時，x+y的最大值是2．…（11分）
（3）點E、點F在以O為圓心，1為半徑的圓上，且

OE

=

FO

設F（cosα，sinα），E（-cosα，-sinα），

BE

•

AF

=（-cosα+

1

2

，-sinα-

3

2

）（cosα-1，sinα）=

3

cos（α+

π

6

）-

3

2

，
所以

BE

•

AF

的最大值為為

3

-

3

2

．此時如圖∠E=∠F=75°，∠EDF=30°，
即θ=

π

6

時，

BE

•

AF

的最大值為

3

-

3

2

．（16分）．

點評：本題是綜合題，考查向量的基本運算，向量的數量積，三角函數的有關計算，考查計算能力，作圖能力．