Question

給定兩個長度為1的平面向量

OA

和

OB

，它們的夾角為120°．如圖所示，點C在以O為圓心的圓弧AB上變動．若

OC

=x

OA

+y

OB

，其中x，y∈R．
（1）若∠AOC=30°，求x，y的值；
（2）求x+y的最大值．

Answer 1

分析：（1）以O為原點，OA方向為x軸正方向建立坐標系，分別求出A，B的坐標，及∠AOC=30°時，C的坐標，進而根據

OC

=x

OA

+y

OB

，構造關于x，y的方程，解方程即可得到滿足條件的x，y的值；
（2）則

OC

=x

OA

+y

OB

=（x，0）+（-

y

2

，

3

2

y）=（cosα，sinα），我們求出x+y的表達式，然后根據三角函數的性質，即可得到x+y的最大值．

解答：解：（1）建立如圖所示的坐標系，
則A（1，0），B（cos120°，sin120°），即B（-

1

2

，

3

2

）
即B（-

1

2

，

3

2

）．
設∠AOC=α，則

OC

=（cosα，sinα）．
∴當∠AOC=30°時，

OC

=（

3

2

，

1

2

）
則

3 2 =x- 1 2 y 1 2 = 3 2 y

∴x=

2 3

3

，y=

3

3

 …（7分）
（2）∵

OC

=x

OA

+y

OB

=（x，0）+（-

y

2

，

3

2

y）=（cosα，sinα）．
∴

x- y 2 =cosα 3 2 y=sinα.

∴

x= sinα 3 + cosα y= 2sinα 3

∴x+y=

3

sinα+cosα=2sin（α+30°）．
∵0°≤α≤120°．∴30°≤α+30°≤150°．
∴x+y有最大值2，當α=60°時取最大值2．…（14分）

點評：本題考查的知識點是平面向量的綜合應用，三角函數的性質，其中建立坐標系，分別求出A，B，C點的坐標，將一個幾何問題代數化，是解答本題的關鍵．