Question

給定兩個(gè)長度為1的平面向量

OA

和

OB

，它們的夾角為120°．如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心，以1半徑的圓弧AB上變動(dòng)．若

OC

=x

OA

+y

OB

，其中x，y∈R，則x+y的最大值是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，建立坐標(biāo)系，設(shè)出A，B點(diǎn)的坐標(biāo)，并設(shè)∠AOC=α，則向量

OC

=(cosα，sinα)，且

OC

=x

OA

+y

OB

，由向量相等，得x，y的值，從而求得x+y的最值．

解答：解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，
則A（1，0），B（cos120°，sin120°），
即B（-

1

2

，

3

2

）．
設(shè)∠AOC=α，則

OC

=（cosα，sinα）．
∵

OC

=x

OA

+y

OB

=（x，0）+（-

y

2

，

3

2

y）
=（cosα，sinα）.

x- y 2 =cosα 3 2 y=sinα.

∴

x= sinα 3 + cosα y= 2sinα 3

∴x+y=

3

sinα+cosα=2sin（α+30°）．
∵0°≤α≤120°．∴30°≤α+30°≤150°．
∴x+y有最大值2，當(dāng)α=60°時(shí)取最大值2．答案：2

點(diǎn)評(píng)：本題是向量的坐標(biāo)表示的應(yīng)用，結(jié)合圖形，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，容易求出結(jié)果．