Question

【題目】已知二次函數t滿足f（0）=f（2）=2，f（1）=1．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）當x∈[﹣1，2]時，求y=f（x）的值域；
（3）設h（x）=f（x）﹣mx在[1，3]上是單調函數，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可設f（x）=a（x﹣1）2+1，因為f（0）=2，所以a（0﹣1）2+1=2，

解得：a=1，即f（x）=（x﹣1）2+1

（2）解：因為x∈[﹣1，2]，f（x）在[﹣1，1]為減函數，f（x）在[1，2]為增函數．

當x=1時，ymin=1．

當x=﹣1時，ymax=5．所以y=f（x）的值域是[1，5]

（3）解：因為h（x）=f（x）﹣mx=x2﹣（m+2）x+2在[1，3]上是單調函數，

所以 或 ，即m≤0或m≥4．

綜上：當m≤0或m≥4，h（x）=f（x）﹣mx在[1，3]上是單調函數

【解析】（1）由題意可設f（x）=a（x﹣1）2+1，代值計算即可，（2）根據二次函數的圖象和性質求解即可；（3）根據題意可知對稱軸不在區間內即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數單調性的判斷方法的相關知識，掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較，以及對二次函數的性質的理解，了解當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．