Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ，（a＞0）．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，證明函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并利用函數(shù)單調(diào)性的定義給出證明；
（3）若f（x）是奇函數(shù)，且f（x）﹣x2+4x≥m在x∈[﹣2，2]時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：當(dāng)a=2時(shí)，f（x）= ，因?yàn)閒（1）=0，f（﹣1）=﹣1，

所以f（﹣1）≠﹣f（1），

故f（x）不是奇函數(shù)

（2）證明：函數(shù)f（x）在R上為單調(diào)增函數(shù)，

證明：設(shè)x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）= ﹣ =

∵x1＜x2，∴ ＜0，且 ， ，

又∵a＞0，

∴1+a＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，故f（x1）＜f（x2），

∴函數(shù)f（x）在R上為單調(diào)增函數(shù)

（3）證明：因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，所以f（﹣x）=﹣f（x）對(duì)任意x∈R恒成立．

即 + =0對(duì)任意x∈R恒成立．

化簡(jiǎn)整理得 對(duì)任意x∈R恒成立．

∴a=1

因?yàn)閒（x）﹣x2+4x≥m在x∈[﹣2，2]時(shí)恒成立，

令g（x）=f（x）﹣x2+4x，設(shè)x1，x2∈[﹣2，2]，且x1＜x2，

則g（x1）﹣g（x2）=[f（x1）﹣f（x2）]+（x1﹣x2）（4﹣x1﹣x2），

由（2）可知，f（x1）﹣f（x2）＜0，又（x1﹣x2）（4﹣x1﹣x2）＜0，

所以g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），

故函數(shù)g（x）=f（x）﹣x2+4x在x∈[﹣2，2]上是增函數(shù)…14分（直接判斷出單調(diào)性也給分）

所以當(dāng)x=﹣2時(shí)，函數(shù)g（x）取最小值﹣ ，

故m≤﹣ ，

因此m的取值范圍是（﹣∞，﹣ ]

【解析】（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）= ，根據(jù)f（﹣1）≠﹣f（1），可得函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)；（2）函數(shù)f（x）在R上為單調(diào)增函數(shù)，取x1＜x2 ， 利用作差法，判斷出f（x1）＜f（x2），再由函數(shù)單調(diào)性的定義，可得結(jié)論；（3）若f（x）是奇函數(shù)，可得a=1．令g（x）=f（x）﹣x2+4x，判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的最小值，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較才能正確解答此題．