Question

【題目】已知函數f（x）=ax+ （ab≠0）．
（1）當b=a=1時，求函數f（x）的單調區間；
（2）若函數f（x）在點（2，f（2））處的切線方程是y=2x﹣3，證明：曲線y=f（x）上任一點處的切線與直線x=1和直線y=x所圍成的三角形面積為定值，并求出此定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當b=a=1時，f（x）=x+ ，

導數為f′（x）=1﹣ = ，

由f′（x）＞0，可得x＞2或x＜0；

由f′（x）＜0，可得0＜x＜1或1＜x＜2．

則f（x）的增區間為（﹣∞，0），（2，+∞）；

減區間為（0，1），（1，2）

（2）證明：函數f（x）=ax+ 的導數為f′（x）=a﹣ ，

由曲線在點（2，f（2））處的切線方程是y=2x﹣3，

可得a﹣b=2，f（2）=2a+b=1，

解得a=1，b=﹣1，

即有f（x）=x﹣ ，

在曲線上任取一點（x0，x0﹣ ）．

由f′（x0）=1+ ，

過此點的切線方程為y﹣x0+ =[1+ ]（x﹣x0），

令x=1得y= ，切線與直線x=1交點為（1， ），

令y=x得y=2x0﹣1，切線與直線y=x交點為（2x0﹣1，2x0﹣1），

直線x=1與直線y=x的交點為（1，1）．

從而所圍三角形的面積為 | ﹣1||2x0﹣1﹣1|= | ||2x0﹣2|=2．

所以所圍三角形的面積為定值2

【解析】（1）求出b=a=1時，函數f（x）的導數，由導數大于0，可得增區間；導數小于0，可得減區間，注意定義域；（2）求得f（x）的導數，可得切線的斜率和切點，由已知切線的方程，可得a=1，b=﹣1，再設曲線上任取一點（x0 ， x0﹣ ）．求得切線的方程，令x=1，y=x求得交點，運用三角形的面積公式，化簡整理，即可得到定值．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．