Question

【題目】如圖，建立平面直角坐標系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米．某炮位于坐標原點．已知炮彈發射后的軌跡在方程y＝kx－ (1＋k2)x2(k＞0)表示的曲線上，其中k與發射方向有關．炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標．

設在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由．

Answer 1

【答案】詳見解析.

【解析】試題分析：求炮彈擊中目標時的橫坐標的最大值，炮彈可擊中目標存在k＞0，使3.2＝ka－ (1＋k2)a2成立，因為k＞0關于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根判別式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0解不等式得解.

試題解析：

因為a＞0，所以炮彈可擊中目標存在k＞0，使3.2＝ka－ (1＋k2)a2成立關于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根由韋達定理滿足兩根之和大于0，兩根之積大于0，故只需判別式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0a≤6.

所以當a不超過6(千米)時，可擊中目標．