Question

（本小題滿分14分）已知函數 （I）求曲線處的切線方程；  （Ⅱ）求證函數在區間[0，1]上存在唯一的極值點，并用二分法求函數取得極值時相應x的近似值（誤差不超過0.2）；（參考數據e≈2.7，≈1.6，e^0.3≈1.3）
（III）當試求實數的取值范圍。

Answer 1

（I）  （Ⅱ） （III）

（Ⅰ），………1分
又，處的切線方程為
…………3分
（Ⅱ），………4分
令，則上單調遞增，
上存在唯一零點，上存在唯一的極值點………6分
取區間作為起始區間，用二分法逐次計算如下

區間中點坐標	中點對應導數值	取區間
			1
			0.6
			0.3

由上表可知區間的長度為0.3，所以該區間的中點，到區間端點距離小于0.2，因此可作為誤差不超過0.2的一個極值點的相應x的值。
取得極值時，相應……9分
（Ⅲ）由，
即，，……11分
令
令
上單調遞增，
，因此上單調遞增，
則，的取值范圍是………14分