Question

（理）數列{a_n}，若對任意的k∈N^*，滿足

a2k+1

a2k-1

=q1，

a2k+2

a2k

=q2

&(q1，q2

是常數且不相等），則稱數列{a_n}為“跳躍等比數列”，則下列關于“跳躍等比數列”的命題：
（1）若數列{a_n}為“跳躍等比數列”，則滿足b_k=a_2k•a_2k-1（k∈N^*）的數列{b_n}是等比數列； 
（2）若數列{a_n}為“跳躍等比數列”，則滿足bk=

a2k

a2k-1

(k∈N*)的數列{b_n}是等比數列； 
（3）若數列{a_n}為等比數列，則數列{（-1）ⁿa_n}是“跳躍等比數列”；  
（4）若數列{a_n}為等比數列，則滿足bn=

ak+1•ak ，&n=2k-1 ak+1 ak ，&n=2k

(k∈N*)的數列{b_n}是“跳躍等比數列”；
（5）若數列{a_n}和{b_n}都是“跳躍等比數列”，則數列{a_n•b_n}也是“跳躍等比數列”；其中正確的命題個數為（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：（1）根據數列{a_n}為“跳躍等比數列”，則

bk+1

bk

=q₂•q₁（常數），然后根據等比數列的定義可判定數列{b_n}是否為等比數列；
（2）根據數列{a_n}為“跳躍等比數列”，則

bk+1

bk

=

q2

q1

（常數），然后根據等比數列的定義可知數列{b_n}是否為等比數列；
（3）根據數列{a_n}為等比數列，假設公比為q，則新數列奇數項之比與偶數項之比相等不符合定義，從而確定數列{（-1）ⁿa_n}是否為“跳躍等比數列”；
（4）根據數列{a_n}為等比數列，假設公比為q，假設n=2k-1，則

bn+1

bn

≠常數，根據“跳躍等比數列”的定義進行判定數列{b_n}；
（5）根據數列{a_n}和{b_n}都是“跳躍等比數列”，然后根據“跳躍等比數列”的定義判定數列{a_n•b_n}．

解答：解：（1）若數列{a_n}為“跳躍等比數列”，則

bk+1

bk

=

a2k+2• a2k+1

a2k•a2k-1

=q₂•q₁（常數），根據等比數列的定義可知數列{b_n}是等比數列，故正確；
（2）若數列{a_n}為“跳躍等比數列”，則

bk+1

bk

=

a2k+2•a2k-1

a2k•a2k+1

=

q2

q1

（常數），根據等比數列的定義可知數列{b_n}是等比數列，故正確；
（3）若數列{a_n}為等比數列，假設公比為q，則

-a2k+1

-a2k-1

=q2，

a2k+2

a2k

=q2，公比相等不符合定義，∴數列{（-1）ⁿa_n}不是“跳躍等比數列”，故不正確；
（4）若數列{a_n}為等比數列，假設公比為q，假設n=2k-1，則

bn+1

bn

=

q

q a 2 k

=

1

a 2 k

≠常數，故數列{b_n}不是“跳躍等比數列”，故不正確；
（5）若數列{a_n}和{b_n}都是“跳躍等比數列”，則

a2k+1

a2k-1

=q1，

a2k+2

a2k

=q2

&(q1，q2

是常數且不相等），

b2k+1

b2k-1

= p1，

b2k+2

b2k

=p2（p₁，p₂是常數且不相等），那么數列{a_n•b_n}也是“跳躍等比數列”，故正確．
故選C．

點評：本題主要考查了等比關系的確定，以及新的定義的應用，同時考查了計算能力，屬于中檔題．