Question

(07年全國卷Ⅱ理)（12分）設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁∈  (0,1), a_n=，n=2,3,4…

（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，求證<，其中n為正整數(shù)。

Answer 1

解析：（1）由

       整理得    ．

       又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，得

             

       （2）方法一：

       由（1）可知，故．

       那么，

               

       又由（1）知且，故，

       因此       為正整數(shù)．

方法二：

由（1）可知，

因?yàn)?IMG height=41 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090325/20090325164217017.gif' width=83>，

所以       ．

由可得，

即   

兩邊開平方得       ．

即    為正整數(shù)．