Question

已知函數(shù)f（x）

x+ 1 x ，x＞0 x3+3，x≤0

，則方程f（2x²+x）=a（a＞2）的根的個數(shù)可能為______（將正確命題的序號全部填入）
①1個②2個③3個④4個⑤5個⑥6個．

Answer 1

畫出函數(shù)f（x）=

x+ 1 x ，x＞0 x3+3，x≤0

的圖象如右圖，
令t=2x²+x，
當2＜a≤3時，y=a與y=f（t）的圖象有三個交點，三個交點的橫坐標記為t₁，t₂，t₃且t₁≤0＜t₂＜t₃，
當2x²+x=t₂時，該方程有兩解，2x²+x=t₃時，該方程也有兩解，2x²+x=t₁時，該方程有0個解或1個解或2個解，
∴當2＜a≤3時，方程f（2x²+x）=a的根的個數(shù)可能為4個，5個，6個；
當a＞3時，y=a與y=f（t）的圖象有兩個交點，兩個交點的橫坐標記為t₄，t₅且0＜t₄＜t₅，
當2x²+x=t₄時，該方程有兩解，2x²+x=t₅時，該方程也有兩解，
∴當a＞3時，方程f（2x²+x）=a的根的個數(shù)為4個；
綜上所述：方程f（2x²+x）=a（a＞2）的根的個數(shù)可能為4個，5個，6個．
故答案為：④⑤⑥．