Question

已知函數，，其中．   
（1）設函數，若在區間是單調函數，求的取值范圍；
（2）設函數，是否存在，對任意給定的非零實數，存在惟一的非零實數（），使得成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）因   ……1分
， ∵在區間上單調    
恒成立  ……2分
  恒成立
設
令有，記 
由函數的圖像可知，在上單調遞減，在上單調遞增，……4分
∴，于是  ……5分
∴                    ……6分
（2）當時有；  ……7分
當時有，因為當時不合題意，因此，……8分
下面討論的情形，
記 求得  A，B=
（ⅰ）當時，在上單調遞增，所以要使成立，只能且，因此有  ……9分
（ⅱ）當時，在上單調遞減，所以要使成立，只能且，因此   ……11分
綜合（ⅰ）（ⅱ）      ……12分
當時A=B，則，即使得成立，
因為在上單調遞增，所以的值是唯一的；…13分
同理，，即存在唯一的非零實數，要使成立，
所以滿足題意.  …14分

本試題主要是考查導數在研究函數中的運用。
（1）根據函數在給定區間單調遞增，則可以利用導函數恒大于等于零，分離參數的思想求解參數的范圍，
（2）分別分析函數f(x)和g(x)的性質得到單調性，進而確定是否存在點滿足已知條件來求解得到。