Question

【題目】甲乙丙三人在進行一項投擲骰子游戲中規定：若擲出1點，甲得1分，若擲出2點或3點，乙得1分；若擲出4點或5點或6點，丙得1分，前后共擲3次，設x，y，z分別表示甲、乙、丙三人的得分．
（1）求x=0，y=1，z=2的概率；
（2）記ξ=x+z，求隨機變量ξ的概率分布列和數學期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：設事件A表示“投擲一次骰子甲得一分”，事件B表示“投擲一次骰子乙得一分”，事件C表示“投擲一次骰子丙得一分”，

則P（A）= ，P（B）= ，P（C）= ，

∴x=0，y=1，z=2的概率p=（ ）3C （ ）（ ）2 =

（2）解：X=0，1，2，3； Y=0，1，2，3； Z=0，1，2，3．

但是只得3次分，因而必須滿足X+Y+Z=3，隨機變量ξ的樣本空間為{0，1，2，3}

事實上ξ=3﹣Y，

∴P（ξ=0）=P（Y=3）=（ ）3= ，

P（ξ=1）=P（Y=2）= = ，

P（ξ=2）=P（Y=1）= = ，

P（ξ=3）=P（Y=0）=（ ）3= ，

∴ξ的分布列：

ξ	0	1	2	3
P

E（ξ）= =2

【解析】（1）設事件A表示“投擲一次骰子甲得一分”，事件B表示“投擲一次骰子乙得一分”，事件C表示“投擲一次骰子丙得一分”，由已知得P（A）= ，P（B）= ，P（C）= ，從而能求出x=0，y=1，z=2的概率．（2）X=0，1，2，3； Y=0，1，2，3； Z=0，1，2，3．但是只得3次分，因而必須滿足X+Y+Z=3，隨機變量ξ的樣本空間為{0，1，2，3}，事實上ξ=3﹣Y，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和數學期望．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解離散型隨機變量及其分布列的相關知識，掌握在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．