Question

【題目】在正四棱錐中，E，F分別為棱VA，VC的中點．

（1）求證：EF∥平面ABCD；

（2）求證：平面VBD⊥平面BEF．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）由題意E，F分別為棱VA，VC的中點，得EF∥AC，利用線面平行的判定定理，即可證得EF∥平面ABCD．

（2）連結，交于點，連結，則，進而得，進而證得

EF⊥VO，EF⊥BD，由線面垂直的判定定理，得到，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面VBD⊥平面BEF．

（1）因為E，F分別為棱VA，VC的中點，

所以EF∥AC，

又因為，，

所以EF∥平面ABCD．

（2）連結，交于點，連結．

因為為正四棱錐，

所以．

又，所以．

又因為，EF∥AC，

所以EF⊥VO，EF⊥BD．

又，，

所以，

又，所以平面VBD⊥平面BEF．