Question

（2009•越秀區模擬）設a=∫₀^π（sinx+cosx）dx，則(

x

-

a

x2

)10展開式中的常數項是

180

．

Answer 1

分析：直接求出定積分的值，求出a的值，然后根據二項式展開的公式將二項式(

x

-

a

x2

)10展開，令x的冪指數為0，求出r，從而求解．

解答：解：∵a=∫₀^π（sinx+cosx）dx=（-cosx+sinx）|₀^π=（-cosπ+sinπ）-（-cos0+sin0）=2，
所以(

x

-

a

x2

)10=(

x

-

2

x2

)10，它的通項公式為：T_r+1=（-1）^rC₁₀r（

x

）^10-r（

2

x2

）^r=（-1）^rC₁₀^r2^rx

10-5r

2

令10-5r=0，得r=2，因此，展開式中常數項是：（-1）²C₁₀²2²=180．
故答案為：180．

點評：本題考查了簡單定積分的計算以及求二項式展開式的指定項的基本方法．考查計算能力，基本功．