Question

（2009•越秀區模擬）已知一動圓P（圓心為P）經過定點Q（

2

，0），并且與定圓C：(x+

2

)2+y2=16（圓心為C）相切．
（1）求動圓圓心P的軌跡方程；
（2）若斜率為k的直線l經過圓x²+y²-2x-2y=0的圓心M，交動圓圓心P的軌跡于A、B兩點．是否存在常數k，使得

CA

+

CB

=2

CM

？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設P（x，y），動圓半徑為r，則|PQ|=r．因為點Q在圓C的內部，所以動圓P與定圓C內切，所以|PC|=4-r．
所以|PC|+|PQ|=4＞|CQ|=2

2

，由此能夠求出動圓圓心P的軌跡方程．
（2）假設存在常數k，使得

CA

+

CB

=2

CM

，即

AM

=

MB

，所以M為AB的中點．圓方程可化為（x-1）²+（y-1）²=2，所以圓心M為（1，1）．直線l的方程為y-1=k（x-1）．由

y-1=k(x-1) x2 4 + y2 2 =1

，得（1+2k²）x²+（4k-4k²）x+（2k²-4k-2）=0．因為點M（1，1）在橢圓

x2

4

+

y2

2

=1的內部，所以恒有△＞0．由此能夠推導出存在常數k=-

1

2

，使得

CA

+

CB

=2

CM

．

解答：（1）解：設P（x，y），動圓半徑為r，則|PQ|=r．
因為點Q在圓C的內部，所以動圓P與定圓C內切，
所以|PC|=4-r．
所以|PC|+|PQ|=4＞|CQ|=2

2

，
根據橢圓的定義，動圓圓心P的軌跡是以C、Q為焦點的橢圓．
因為橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，
故可設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
由2a=4，2c=2

2

，得a=2，c=

2

，b=

2

，
所以橢圓方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
所以動圓圓心P的軌跡方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）解：假設存在常數k，使得

CA

+

CB

=2

CM

，
即

AM

=

MB

，所以M為AB的中點．
圓方程可化為（x-1）²+（y-1）²=2，
所以圓心M為（1，1）．
因為直線l經過點M，
所以直線l的方程為y-1=k（x-1）．
由

y-1=k(x-1) x2 4 + y2 2 =1

，
消去y得（1+2k²）x²+（4k-4k²）x+（2k²-4k-2）=0．
因為點M（1，1）在橢圓

x2

4

+

y2

2

=1的內部，
所以恒有△＞0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=

4k2-4k

1+2k2

．
因為M為AB的中點，
所以

x1+x2

2

=1，
即

2k2-2k

1+2k2

=1，
解得k=-

1

2

．
所以存在常數k=-

1

2

，
使得

CA

+

CB

=2

CM

．

點評：本題通過幾何量的轉化考查用待定系數法求曲線方程的能力，通過直線與圓錐曲線的位置關系處理，考查學生的運算能力．通過向量與幾何問題的綜合，考查學生分析轉化問題的能力，探究研究問題的能力，并體現了合理消元，設而不解的代數變形的思想．綜合性強，難度大，容易出錯．