Question

已知函數f（x）滿足：當x≥4時，f(x)=(

1

2

)x，當時，f(x+

1

2

)=-f(x)，則f（-2009+log₂3）=（　　）

• A．

  1

  24

• B．

  1

  12

• C．

  1

  8

• D．

  3

  8

Answer 1

分析：當x＜4時，利用函數的周期性將f（-2009+log₂3）轉化為f（3+log₂3），再利用x≥4時，f（x）=(

1

2

)x即可求得答案．

解答：解：∵x＜4時f（x+

1

2

）=-f（x），
∴f（x+1）=f（x），
∴當x＜4時，f（x）是以4為周期的函數，
∴f（-2009+log₂3）=f（2+log₂3）=f（3+log₂3），
∵log₂3＞1，
∴3+log₂3＞4，又當x≥4時，f（x）=(

1

2

)x，
∴f（3+log₂3）=(

1

2

)3+log23
=(

1

2

)3×(

1

2

)log23
=

1

8

×

1

3

=

1

24

．
故選A．

點評：本題考查函數的周期性，考查對數恒等式的應用與函數的求值，考查分析與轉化求解的能力，屬于中檔題．