Question

【題目】已知：向量 =（ ，0），O為坐標原點，動點M滿足：| + |+| ﹣ |=4．
（1）求動點M的軌跡C的方程；
（2）已知直線l1 ， l2都過點B（0，1），且l1⊥l2 ， l1 ， l2與軌跡C分別交于點D，E，試探究是否存在這樣的直線使得△BDE是等腰直角三角形．若存在，指出這樣的直線共有幾組（無需求出直線的方程）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由：| + |+| ﹣ |=4， =（ ，0），

知動點M的軌跡是以點（ ，0）為焦點、4為長軸長的橢圓，

∴c= ，a=2，

∴b=1，

∴所求的方程為 =1

（2）解：設BD：y=kx+1，代入上式得（1+4k2）x2+8kx=0，

∴x1=0，x2=﹣ =xD，

∵l1⊥l2，∴以﹣ 代k，得xE=

∵△BDE是等腰直角三角形，

∴|BD|=|BE|，

∴ = ，

∴|k|（k2+4）=1+4k2，①

k＞0時①變為k3﹣4k2+4k﹣1=0，∴k=1或 ；

k＜0時①變為k3+4k2+4k﹣1=0，k=﹣1或 ．

∴使得△BDE是等腰直角三角形的直線共有3組．

【解析】（1）由：| + |+| ﹣ |=4， =（ ，0），知動點M的軌跡是以點（ ，0）為焦點、4為長軸長的橢圓，即可求動點M的軌跡C的方程；（2）設直線方程，求出D，E的坐標，利用△BDE是等腰直角三角形，可得|BD|=|BE|，即 = ，從而可得結論．