Question

已知（m為常數，m>0且），設是首項為4，公差為2的等差數列.

（Ⅰ）求證：數列{a_n}是等比數列；

（Ⅱ）若b_n=a_n?，且數列{b_n}的前n項和S_n，當時，求S_n；

（Ⅲ）若c_n=，問是否存在m，使得{c_n}中每一項恒小于它后面的項？若存在，求出m的范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意   

即

∴ 

∴    

∵m>0且，∴m²為非零常數，

∴數列{a_n}是以m⁴為首項，m²為公比的等比數列

（Ⅱ）由題意，

當

∴   ①

①式兩端同乘以2，得

  ②

②－①并整理，得

 

  

   =

  

 

（Ⅲ）由題意

要使對一切成立，

即  對一切 成立，

①當m>1時，  成立；

②當0<m<1時，

∴對一切 成立，只需，

解得 ，  考慮到0<m<1，    ∴0<m< 

綜上，當0<m<或m>1時，數列{c_n          }中每一項恒小于它后面的項.