Question

(本題滿分14分)已知函數f(x)滿足2ax·f(x)=2f(x)-1,f(1)=1，設無窮數列{a_n}滿足a_n+1=f(a_n).（1）求函數f(x)的表達式；（2）若a₁=3，從第幾項起，數列{a_n}中的項滿足a_n＜a_n+1；（3）若＜a₁＜（m為常數且m∈N+,m≠1），求最小自然數N，使得當n≥N時，總有0＜a_n＜1成立。

Answer 1

（1）

解析:

（1）當a=0時，有0=2f(x)-1,把f(1)=1代入2f(x)-1=1≠0，則a≠0，當a≠0時，f(x)=-,

又f(1)=1,  ∴,        4 分

(2)若a₁=3，由,,

假設當n≥3時，0＜a_n＜1,則0＜a_n+1=＜=12-a_n＞0，從而a_n+1-a_n=＞0  a_n+1＞a_n        從第2項起，數列{a_n}中的項滿足a_n＜a_n+1                                 9分

另解：由

∴要滿足a_n＜a_n+1，即＜，      ＜0＞0n＞或n＜，又∵n∈N*,∴n＞,∴從第2項起，數列{a_n}中的項滿足a_n＜a_n+1                 9分

（3）當＜a₁＜時，由＜a₂＜,同理＜a₃＜,假設＜a_n＜,由與歸納假設知＜a_m，即a_m＞2

∴＜0,0＜a_m+2=＜=1   ∴N=m+2，使得當n≥N時，總有0＜a_n＜1            14分

另解：由（2）的方法2可得　　

要使0＜a_n＜1，則0＜＜1-1＜＜1-1＜＜0

即當＜n-2時，總有0＜a_n＜1，又∵＜a₁＜＜m-1＜＜m

∴m≤n-2n≥m+2    ∴當N＝m+2，使得當n≥N時總有0＜a_n＜1              14分