Question

已知函數f（x）=

x2+1，x＞0 -8+ -x2-4x ，-4≤x≤0

，在點（1，2）處的切線與f（x）的圖象公共點的個數為（　　）

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

考點：分段函數的應用,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：函數的性質及應用,導數的概念及應用

分析：求出曲線在點（1，2）處的切線方程，聯立方程組，求出解的個數，可得答案．

解答： 解：∵f（x）=x²+1，x＞0，
∴f′（x）=2x，
故在點（1，2）處的切線斜率k=f′（1）=2，
故在點（1，2）處的切線方程為：y-2=2（x-1），即y=2x，
由

y=x2+1 y=2x

，(x＞0)得：

x=1 y=2

，
由

y=-8+ -x2-4x y=2x

，(-4≤x≤0)得：

x=-4 y=-8

或

x=- 16 5 y=- 32 5

，
綜上函數f（x）=

x2+1，x＞0 -8+ -x2-4x ，-4≤x≤0

的圖象與y=2x有三個交點，
故選：B

點評：本題考查的知識點是分段函數的應用，利用導數研究曲線上某點切線方程，其中求出切線方程是解答的關鍵．