Question

【題目】已知為實常數，函數.

（1）求函數的最值；

（2）設.

(i)討論函數的單調性；

（ⅱ） 若函數有兩個不同的零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)最大值為，無最小值；(2)(i)答案見解析；(ii) .

【解析】試題分析：

（1）由函數的解析式可得 ，結合函數的定義域可知函數在上單調遞增，在上單調遞減，函數的最大值為，無最小值.

（2）（i）由題意可得， .分類討論：

①當時， 在上是增函數；

②當時，函數在是增函數，在是減函數.

（ⅱ）由（i）知，當不合題意；

當時， ，解得.結合題意構造新函數，由函數的性質討論可得的取值范圍是.

試題解析：

（1）函數的定義域是.

令，得；令，得；

故函數在上單調遞增，在上單調遞減.

故函數的最大值為，無最小值.

（2）（i），

函數的定義域為，其導數.

①當時， ，函數在上是增函數；

②當時，在區間上， ；在區間上， .

所以函數在是增函數，在是減函數.

（ⅱ）由（i）知，當時，函數在上是增函數，不可能有兩個零點；

當時， 在時增函數，在是減函數，此時為函數的最大值,

若，則最多有一個零點，不合題意，

所以，解得.

此時，且 ，

.

令，則 .

所以在上單調遞增.

所以，即.

故函數有兩個不同的零點， ，且， .

綜上， 的取值范圍是.