Question

（本小題滿分14分）
如圖,P-ABC是底面邊長為1的正三棱錐,D、E、F分別為棱長PA、PB、PC上的點, 截面DEF∥底面ABC, 且棱臺DEF-ABC與棱錐P-ABC的棱長和相等.(棱長和是指多面體中所有棱的長度之和)

（1）求證：P-ABC為正四面體；
（2）棱PA上是否存在一點M，使得BM與面ABC所成的角為45°？若存在，求出點M的位置；若不存在，請說明理由。
（3）設棱臺DEF-ABC的體積為V=, 是否存在體積為V且各棱長均相等的平行六面體,使得它與棱臺DEF-ABC有相同的棱長和，并且該平行六面體的一條側棱與底面兩條棱所成的角均為60°? 若存在,請具體構造出這樣的一個平行六面體,并給出證明；若不存在,請說明理由.

Answer 1

（1）見解析 （2）M點 滿足AM=    
（3）構造棱長均為,底面為正方形或銳角為60°的菱形的平行六面體

試題分析： 
（1）解：∵棱臺DEF-ABC與棱錐P-ABC的棱長和相等
∴DE+EF+FD=PD+OE+PF.                 2分
又∵截面DEF∥底面ABC,
∴DE=EF=FD=PD=OE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°
∴P-ABC是正四面體.                  4分
（2）（5分）
作PO⊥面ABC于O，MN⊥面ABC于N，
∵A、M、P三點共線      ∴A、N、O三點共線，延長AO交BC于G
∴∠MBN=45°，MN//PO
∵P-ABC為棱長為1的正四面體
∴ AO=，PO=             6分    
設MN=x，則BN=x，且
∴AM=，AN=
∵AG是等邊△ABC的中線             ∴∠BAN=30°
∴BN²=AN²+AB²-2ABANcos30°                            8分
解得x=
∴AM=                                   9分
（3）（5分）
存在滿足條件的平行六面體.                               10分
棱臺DEF-ABC的棱長和為定值6,則平行六面體的棱長均為,      11分
設該六面體一條側棱長為A₁B₁，與底面兩條棱A₁C₁和A₁D₁的夾角為60°，設底面四邊形的銳角為2α, 作B₁E₁⊥底面A₁C₁D₁于E₁，E₁F₁⊥A₁C₁
∵∠B₁A₁C₁=∠B₁A₁D₁
∴∠C₁A₁E₁=α 
則A₁F₁=，A₁E₁=，
B₁E₁=
則V=
解得 或   
∴2α=90°或60°                    13分
故構造棱長均為,底面為正方形或銳角為60°的菱形的平行六面體即滿足要求.  14分
點評：該題綜合性較強，涉及多知識點的交匯