Question

設(shè)函數(shù)f（x）=sin²x-sin（2x-

π

2

）．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值和最小值；
（2）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，c=3，f（

C

2

）=

1

4

，若sinB=2sinA，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的余弦函數(shù)以及誘導(dǎo)公式，化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，然后求出函數(shù)的最值．
（2）利用f（

C

2

）=

1

4

，結(jié)合（1）求出C的大小，利用正弦定理求出a，b的方程，通過(guò)余弦定理聯(lián)立方程組，求出a，即可求解三角形的面積．

解答：解：（1）f（x）=sin²x-sin（2x-

π

2

）
=

1-cos2x

2

+cos2x=

1

2

cos2x+

1

2

∴當(dāng)cos2x=1時(shí)，函數(shù)取得最大值1；
當(dāng)cos2x=-1時(shí)，函數(shù)取得最小值0．
（2）∵f(

C

2

)=

1

4

，∴

1

2

cosC+

1

2

=

1

4

，即cosC=-

1

2

．
又∵C∈（0，π），
∴C=

2π

3

．
∵sinB=2sinA，
∴b=2a．
∵c=3，
∴9=a2+4a2-2a×2a×cos

2π

3

∴a2=

9

7

∴S△ABC=

1

2

absinC=a2sinC=

9 3

14

．
△ABC的面積：

9 3

14

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二倍角的三角函數(shù)，余弦定理、正弦定理以及三角形的面積的求法，考查計(jì)算能力．