Question

【題目】已知橢圓：的短軸長為2，且橢圓過點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線過定點(diǎn)，且斜率為，若橢圓上存在，兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，再結(jié)合，求出的值，即可得到橢圓的方程；

（2）設(shè)直線的方程為，，，然后由直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去，判別式大于零，再通過根與系數(shù)的關(guān)系，得到線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再將其代入直線方程中得到中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，將線段中點(diǎn)坐標(biāo)代入直線的方程，可得到的關(guān)系式，再結(jié)合判別式得到的不等式可求出的取值范圍.

解：（1）∵橢圓的短軸長為2，∴，即.

又點(diǎn)在上，∴，∴，

∴橢圓的方程為.

（2）由題意設(shè)直線的方程為，，，

由消去得，，

∴，即，①

且，

∴線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)，

即線段的中點(diǎn)為，

將代入直線可得，，②

由①，②可得，，∴.