Question

【題目】已知函數f（x）=sin（ωx+φ）其中ω＞0，|φ|＜ ．
（1）若cos cosφ﹣sin sinφ=0．求φ的值；
（2）在（1）的條件下，若函數f（x）的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于 ，求函數f（x）的解析式；并求最小正實數m，使得函數f（x）的圖象象左平移m個單位所對應的函數是偶函數．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 得

即 又 ，∴

（2）解：解法一：由（I）得， 依題意， 又 ，故ω=3，∴

函數f（x）的圖象向左平移m個單位后所對應的函數為 g（x）是偶函數當且僅當 即 從而，最小正實數

解法二：由（I）得， ，依題意， 又 ，故ω=3，∴

函數f（x）的圖象向左平移m個單位后所對應的函數為 ，g（x）是偶函數當且僅當g（﹣x）=g（x）對x∈R恒成立

亦即 對x∈R恒成立．∴ =

即 對x∈R恒成立．∴

故 ∴ 從而，最小正實數

【解析】（1）利用特殊角的三角函數值化簡 ，根據 直接求出φ的值；（2）解法一：在（I）的條件下，若函數f（x）的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于 ，求出周期，求出ω，得到函數f（x）的解析式；函數f（x）的圖象向左平移m個單位所對應的函數是偶函數．推出 ，可求最小正實數m． 解法二：在（I）的條件下，若函數f（x）的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于 ，求出周期，求出ω，得到函數f（x）的解析式；利用g（x）是偶函數當且僅當g（﹣x）=g（x）對x∈R恒成立，使得函數f（x）的圖象向左平移m個單位所對應的函數是偶函數．化簡 ，然后再求最小正實數m．