Question

如果項(xiàng)數(shù)均為的兩個(gè)數(shù)列滿足且集合，則稱數(shù)列是一對(duì)“項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”．
(Ⅰ)設(shè)是一對(duì)“4項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”，求和的值，并寫(xiě)出一對(duì)“項(xiàng)
關(guān)數(shù)列”；
(Ⅱ)是否存在“項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”？若存在，試寫(xiě)出一對(duì)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(Ⅲ)對(duì)于確定的，若存在“項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”，試證明符合條件的“項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”有偶數(shù)對(duì)．

Answer 1

(Ⅰ)；；：8，4，6，5；：7，2，3，1；(Ⅱ)不存在，理由見(jiàn)解析；(Ⅲ)證明見(jiàn)解析.

解析試題分析：(Ⅰ)依題意有，，以及，求得以及的值，寫(xiě)出符合條件的數(shù)列即可，答案不唯一；(Ⅱ)先假設(shè)存在，利用反證法證明得出矛盾，即可證明滿足已知條件的“10項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”不存在.依題意有，以及成立，解出與已知矛盾，即證；(Ⅲ)對(duì)于確定的，任取一對(duì)“項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”，構(gòu)造新數(shù)對(duì)，
，則可證明新數(shù)對(duì)也是“項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”，但是數(shù)列與是不同的數(shù)列，可知“項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”都是成對(duì)對(duì)應(yīng)出現(xiàn)的，即符合條件的 “項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”有偶數(shù)對(duì).
試題解析：(Ⅰ)依題意，，相加得，
，又，
則，.
“4項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”：8，4，6，5；：7，2，3，1（不唯一）    4分
(Ⅱ)不存在．
理由如下：假設(shè)存在“10項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”，
則，
相加得
．
又由已知，
所以 ，顯然不可能，所以假設(shè)不成立．
從而不存在 “10項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”．                      8分
(Ⅲ)對(duì)于確定的，任取一對(duì) “項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”，
令，，
（先證也必為 “項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/c0/3/19xgi2.png" style="vertical-align:middle;" />
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/06/7/je68d.png" style="vertical-align:middle;" />，
很顯然有，
所以也必為 “項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”．
（再證數(shù)列與是不同的數(shù)列）
假設(shè)與相同，則的第二項(xiàng)，又，則，即，顯然矛盾．
從而，符合條件的 “項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”有偶數(shù)對(duì)．                   13分
考點(diǎn)：1.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式；2.反證法及其應(yīng)用