Question

選修4-4：坐標系與參數方程
已知直線l：

x=m+tcosα y=tsinα

（t為參數）經過橢圓C：

x=2cosφ y= 3 sinφ

（φ為參數）的左焦點F．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）設直線l與橢圓C交于A、B兩點，求|FA|•|FB|的最大值和最小值．

Answer 1

（Ⅰ）將橢圓C的參數方程化為普通方程，得

x2

4

+

y2

3

=1．
a=2，b=

3

，c=1，則點F坐標為（-1，0）．
l是經過點（m，0）的直線，故m=-1．…（4分）
（Ⅱ）將l的參數方程代入橢圓C的普通方程，并整理，得
（3cos²α+4sin²α）t²-6tcosα-9=0．
設點A，B在直線參數方程中對應的參數分別為t₁，t₂，則
|FA|•|FB|=|t₁t₂|=

9

3cos2α+4sin2α

=

9

3+sin2α

．
當sinα=0時，|FA|•|FB|取最大值3；
當sinα=±1時，|FA|•|FB|取最小值

9

4

．…（10分）