Question

(1)已知(＋)ⁿ的第五項的二項式系數與第三項的二項式系數的比是14∶3，求展開式中不含x的項．

(2)求(x－1)－(x－1)²＋(x－1)³－(x－1)⁴＋(x－1)⁵的展開式中x²的系數．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　本題是求特定項和特定項的系數，故可用二項展開式的通項公式，對于(1)，可先求出n，再確定r；對(2)，可先對所給式子進行求和化簡，再求系數． 　　解答　　(1)依題意有∶＝14∶3 　　化簡得(n－2)(n－3)＝56 　　解之得n＝10或n＝－5(不合題意，舍去) 　　設該展開式中第r＋1項為所求的項，則 　　Tr+1＝(3x2)－r＝·3－r 　　令＝0，得r＝2，故不含x的項為第三項，且T3＝·3－2＝5 　　(2)原式＝＝[(x－1)＋(x－1)6] 　　為了求x2的系數，只需求(x－1)6中x3的系數，顯然該展開式中的第4項含x3，即T4＝＝－20x3．故所求x2的系數等于＝－20 　　評析　　把握住通項公式是掌握二項式定理的關鍵．應注意區分二項展開式的二項式系數和二項展開式的各項字母的系數，它們具有不同的意義．