Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）討論函數的單調性；

（3）當時，曲線與軸交于點，證明： .

Answer 1

【答案】(1) （2）見解析（3）見解析

【解析】【試題分析】（1）當時，利用求得切點的坐標，利用求得斜率，結合點斜式得出切線方程.（2）對原函數求導并因式分解，然后對分類討論函數的單調性.（3）當，由（2）知， ， .構造函數，利用導數判斷的單調性，由此證明不等式成立.

【試題解析】

(1)當時， ，

=

切線的斜率，又，

故切線的方程為，即.

（2）且,

()當時, ,.

當時, ;當時, .

故在上單調遞減,在上單調遞增.

()當,有兩個實數根.

①當時, ,故時, 時

時, .

故在上均為單調增函數,在上為減函數.

②當時, , ，

當且僅當時, ,故在上為增函數.

③當時, .當時, 當時， 故在上為增函數，在（1， ）上為減函數，

綜上所述,當時, 在上單調遞減,在上單調遞增;當時, 在

、上單調遞增，在上單調遞減；

當時， 在上單調遞增；當時， 在、上為單調遞增；在上單調遞減.

（3）當，由（2）知， ， .

又.

.

設則.

當時， 故在上遞減，而故當時， .

又，又在上單調遞減； .

.