Question

設等差數列的首項為a,公差為d ( d>0 ). 數列定義如下：對于正整數m，是使不等式成立的所有n中的最大值.（例如：b₁是使不等式成立的所有n中的最大值,b₂是使不等式成立的所有n中的最大值，……,如此類推).

（1）若， 求；

（2）若，求數列前2m項的和；

（3）是否存在等差數列，使得，若存在，求a和d的范圍；

若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）當m=5時,由,解得，則n的最大整數為10，

所以 =10 .   ……………………2分

（2）由，解得.

當m為奇數時，n的最大整數為；

當m為偶數時，n的最大整數為,  所以. …………………5分

==.   …………………………………………8分

（3））假設存在等差數列，使得。由，解得。因是使不等式成立的所有n中的最大值，故

對任意正整數m都成立，變形整理可得（★）對任意正整數m都成立. …………………………11分

當1-3d=0即d=時，要使（★）對任意正整數m都成立，還需成立，即

，故當d=，時，滿足題意，所以存在等差數列；

②當1-3d>0即0<d<時, 不等式（★）變為，因均為確定的實數，所以m為一定范圍內的整數，不是所有的正整數，故（★）不等式不是對任意正整數m都成立；

③當1-3d<0即d>時, 不等式（★）變為，因均為確定的實數，所以m為一定范圍內的整數，不是所有的正整數，故（★）不等式不是對任意正整數m都成立。

綜合上述：存在等差數列滿足題意，此時d=，.  …………………16分