Question

設函數f（x）=|x-a|+3x，其中a＞0．
（Ⅰ）當a=1時，求不等式

f(1)=1 f′(1)=- 1 2

的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集為{x|x≤-1}，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當a=1時，原不等式可化為：|x-1|≥2，利用絕對值不等式的意義可得|x-a|+3x≥3x+2的解集；
（Ⅱ）依題意可得|x-a|+3x≤0，?不等式組

x≥a x-a+3x≤0

或

x≤a a-x+3x≤0

，分別解之再取其并集即可．

解答：解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）≥3x+2可化為|x-1|≥2，
∴x≥3或x≤-1．
故不等式f（x）≥3x+2的解集為{x|x≥3或x≤-1}．
（Ⅱ） 由f（x）≤0得|x-a|+3x≤0，
此不等式可化為不等式組

x≥a x-a+3x≤0

或

x≤a a-x+3x≤0

，
即 

x≥a x≤ a 4

或

x≤a x≤- a 2

，
因為a＞0，所以不等式組的解集為{x|x≤-

a

2

 }
由題設可得-

a

2

=-1，故a=2．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，去掉絕對值符號是關鍵，特別是（Ⅱ），去掉絕對值符號是通過分類討論予以解決，考查分析轉化與計算能力，屬于中檔題．