Question

設函數f_n（x）=x-（n²+2n）x²（其中n∈N^*），區間I_n={x|f_n（x）＞0}．
（Ⅰ）求區間I_n的長度（注：區間（α，β）的長度定義為β-α）；
（Ⅱ）把區間I_n的長度記作數列{a_n}，令S_n=a₁+a₂+…+a_n，證明：

1

3

≤S_n＜

3

4

．

Answer 1

考點：數列的應用

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）根據I_n={x|f_n（x）＞0}，解不等式，即可求區間I_n的長度（注：區間（α，β）的長度定義為β-α）；
（Ⅱ）利用裂項法求和，即可證明結論．

解答： （Ⅰ）解：由f_n（x）＞0，得x-（n²+2n）x²＞0，解得0＜x＜

1

n2+2n

，…（3分）
即In=(0，

1

n2+2n

)，所以區間I_n的長度為

1

n2+2n

-0=

1

n2+2n

；        …（6分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知an=

1

n2+2n

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，…（7分）
則Sn=

1

2

[(

1

1

-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+2

)]=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)…（10分）
因為n∈N^*，故Sn＜

3

4

，…（11分）
又易知Sn=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)單增，故Sn≥S1=

3

4

-

1

2

(

1

1+1

+

1

1+2

)=

1

3

，
綜上

1

3

≤Sn＜

3

4

．…（12分）

點評：本題考查數列的通項與求和，考查裂項法的運用，確定數列的通項是關鍵．