Question

如圖，長方體中，，點是的中點.

(1)求三棱錐的體積；

(2)證明：;

(3)求二面角的正切值.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）證明過程詳見解析；（3）.

【解析】

試題分析：本題主要考查空間兩條直線的位置關系、二面角、錐體體積等基礎知識.考查用空間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運算能力、推理論證能力.第一問，求錐體體積，關鍵是找到錐體的高和底面面積；第二問，先利用直線與平面的判定定理證出面，所以面內的線段；第三問，先利用直線與平面的判定定理證出面,所以面內的線段，所以就找到了二面角的平面角，在直角三角形中求正切.

試題解析：(1)由長方體性質可得，面，所以是三棱錐的高，

又點是的中點，, 所以,,　

                    2分

三棱錐的體積  4分

（2）

連結,　因為是正方形，所以

又面面，

所以          ６分

又　所以，面

面,　所以，        ８分

(3)　因為面,面,所以,　

由（１）可知，,　

所以，面,　                  10分

面,　面

,　　

是二面角的平面角　

直角三角形中，　

二面角的正切值為      13分

解法（二）

如圖，以為原點，為軸建立空間坐標系

因為點是的中點，且

則

                  ６分

=

所以，                       ８分

（3）設是平面的法向量，則,

,得方程組　　令得

所以，　                      10分

又,設與夾角為

則　

二面角的正切值為.               13分

考點：1.勾股定理；2.三棱錐的體積；3.直線與平面的判定定理；4.向量法.