Question

已知橢圓的方程為,其中.
（1）求橢圓形狀最圓時的方程；
（2）若橢圓最圓時任意兩條互相垂直的切線相交于點，證明：點在一個定圓上.

Answer 1

（1）；（2）證明過程詳見解析.

試題分析：本題主要考查橢圓的標準方程及其幾何性質、韋達定理等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力和計算能力.第一問，根據橢圓的標準方程應滿足的條件得:，且，則知橢圓的長軸在y軸上，而橢圓形狀最圓時e最小，則先得到e的表達式，再根據三角函數的有界性求表達式的最小值，得到取得最小值時的的值，從而得到橢圓的標準方程；第二問，設出交點P的坐標，根據直線的斜率是否存在，分2種情況討論，當斜率存在時，設出直線方程，與橢圓方程聯立，得到關于k的方程，由于兩切線垂直，則，利用上述方程的兩根之積得到的值，整理出方程形式，再驗證當斜率不存在時P點坐標，得到最終結論.
試題解析：（1）根據已知條件有，且，故橢圓的長軸在軸上.
，當且僅當時取等號.
由于橢圓的離心率最小時其形狀最圓，故最圓的橢圓方程為.    5分
（2）設交點，過交點的直線與橢圓相切.
(1)當斜率不存在或等于零時，易得點的坐標為.    6分
(2)當斜率存在且非零時，則設斜率為，則直線：，
與橢圓方程聯立消，得：.
由相切，，
化簡整理得.①
因過橢圓外一點有兩條直線與橢圓相切，由已知兩切線垂直，故，而為方程①的兩根，
故，整理得：.
又也滿足上式，
故點的軌跡方程為，即點在定圓上.   13分