Question

（1）已知函數f（x）=|x-2|+|x-4|的最小值為m，實數a，b，c，n，p，q
滿足a²+b²+c²=n²+p²+q²=m．
（Ⅰ）求m的值；     （Ⅱ）求證：

n4

a2

+

p4

b2

+

q4

c2

≥2．
（2）已知在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為

x=2tcosθ y=2sinθ

（t為非零常數，θ為參數），在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，直線l的方程為ρsin(θ-

π

4

)=2

2

．
（Ⅰ）求曲線C的普通方程并說明曲線的形狀；
（Ⅱ）是否存在實數t，使得直線l與曲線C有兩個不同的公共點A、B，且

OA

•

OB

=10（其中O為坐標原點）？若存在，請求出；否則，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）（Ⅰ）解法一，利用絕對值的幾何意義，化簡函數，即可求m的值；
解法二：利用絕對值的性質，可得結論；
（Ⅱ）利用柯西不等式，即可證明；
（2）（Ⅰ）消去參數θ，可得普通方程；
（Ⅱ）直線與切線方程聯立，利用韋達定理，結合向量知識，可求實數t的值．

解答：（1）（Ⅰ）解法一：f(x)=|x-2|+|x-4|=

2x-6(x≥4) 2(2＜x＜4) -2x+6(x≤2)

，可得函數的最小值為2．故m=2．
法二：f（x）=|x-2|+|x-4|≥|（x-2）-（x-4）|=2，
當且僅當2≤x≤4時，等號成立，故m=2．
（Ⅱ）證明：∵[(

n2

a

)2+(

p2

b

)2+(

q2

c

)2]•(a2+b2+c2)≥(

n2

a

•a+

p2

b

•b+

q2

c

•c)2
∴(

n4

a2

+

p4

b2

+

q4

c2

)×2≥（n²+p²+q²）²=4，故

n4

a2

+

p4

b2

+

q4

c2

≥2．
（2）解：（Ⅰ）∵t≠0，∴可將曲線C的方程化為普通方程：

x2

t2

+y2=4．…1分
①當t=±1時，曲線C為圓心在原點，半徑為2的圓；  …2分
②當t≠±1時，曲線C為中心在原點的橢圓．…3分
（Ⅱ）直線l的普通方程為：x-y+4=0．…4分
聯立直線與曲線的方程，消y得

x2

t2

+(x+4)2=4，化簡得（1+t²）x²+8t²x+12t²=0．
若直線l與曲線C有兩個不同的公共點，則△=64t⁴-4（1+t²）•12t²＞0，解得t²＞3．
又x1+x2=-

8t2

1+t2

，x1x2=

12t2

1+t2

，…6分
故

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+(x1+4)(x2+4)=2x₁x₂+4（x₁+x₂）+16=10．
解得t²=3與t²＞3相矛盾．故不存在滿足題意的實數t．…7分．

點評：本題考查柯西不等式的運用，考查直線與曲線的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．