Question

設函數f（x）=lnx-px+1
（1）求函數f（x）的極值點；
（2）若對任意的x＞0，恒有f（x）≤0，求p的取值范圍；
（3）證明：

ln22

22

+

ln32

32

+A+

lnn2

n2

＜

2n2-n-1

2(n+1)

（n∈N^*，n≥2）

Answer 1

分析：（1）對f（x）進行求導，令f′（x）=0，解方程，求出f（x）的極值點；
（2）由（1）利用導數研究函數的單調區間，求出f（x）的極大值，再求出f（x）的最大值小于0，即可求出p的范圍；
（3）可以令p=1，得出不等式lnx≤x-1，將x換為n²，利用不等式lnn²≤n²-1，進行放縮證明；

解答：解：（1）∵f（x）=lnx-px+1，∴f（x）的定義域為（0，+∞），
f′（x）=

1

x

-p=

1-px

x

當p≤0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上無極值點，
當p＞0時，令f′（x）=0，∴x=

1

p

∈（0，+∞），f′（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0， 1 p ）	1 p	（ 1 p ，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	遞增	極大值	遞減

從上表可以看出：當p＞0時，f（x）有唯一的極大值點x=

1

p

，
（2）當p＞0時，在x=

1

p

處取得極大值f（

1

p

）=ln

1

p

，此極大值也是最大值，
要使f（x）≤0恒成立，只需f（

1

p

）=ln

1

p

≤0；
∴p≥1，∴p的取值范圍為[1，+∞）
（3）令p=1，由（2）知，lnx-x+1≤0，∴lnx≤x-1，
∵n∈N，n≥2，
∴lnn²≤n²-1，
∴

lnn2

n2

≤

n2-1

n2

=1-

1

n2

，
∴

ln22

2

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

≤（1-

1

22

）+（1-

1

32

）+…+（1-

1

n2

）
=（n-1）-（

1

22

+

1

32

+

1

42

+…+

1

n2

）
＜（n-1）-（

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

）
=（n-1）-（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=（n-1）-（

1

2

-

1

n+1

）
=

2n2-n-1

2(n+1)

即證；

點評：此題主要考查函數的單調性以及函數在極值點取得極值點條件，第三問利用不等式進行放縮，同學們要認真看放縮的過程，這類題比較難，是高考的壓軸題；