Question

正數數列{a_n}的前n項和為S_n，且2

Sn

=an+1．
（1）試求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=

1

an•an_+1

，{b_n}的前n項和為T_n，若對一切正整數n都有T_n＜m，求m的最小值．

Answer 1

分析：（1）由a_n＞0，2

Sn

=an+1，知4S_n=（a_n+1）²，4S_n-1=（a_n-1+1）²，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）由bn=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，知Tn=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

，由此能求出m的最小值．

解答：解：（1）∵a_n＞0，2

Sn

=an+1，
∴4S_n=（a_n+1）²，4S_n-1=（a_n-1+1）²，
則當n≥2時，
4a_n=a_n²+2a_n-a_n-1²-2a_n-1，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
而a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=2（n≥2）
又2

S1

=a1+1，
∴a₁=1，則a_n=2n-1
（2）bn=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴Tn=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

，m≥

1

2

．
所以m的最小值是

1

2

．

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要注意數列遞推公式的合理運用．