Question

設正數數列{a_n} 的前n項和為 S_n，且對任意的n∈N^*，S_n是a_n²和a_n的等差中項．
（1）求數列{a_n} 的通項公式；
（2）在集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k≤1500中，是否存在正整數m，使得不等式S_n-1005＞

an2

2

對一切滿足n＞m的正整數n都成立？若存在，則這樣的正整數m共有多少個？并求出滿足條件的最小正整數m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據S_n是a_n²和a_n的等差中項，可得2S_n=a_n²+a_n，且a_n＞0，再寫一式，當n≥2時，有2S_n-1=a_n-1²+a_n-1，兩式相減，化簡可得a_n-a_n-1=1（n≥2），所以數列{a_n}是首項為1，公差為1的等差數列，故求數列{a_n} 的通項公式；
（2）利用S_n-1005＞

an2

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，求得n＞2010，從而M={2010，2012，…，2998}，這些數組成首項為2010，公差為2的等差數列，由此可得集合M中滿足條件的正整數m的個數．

解答：解：（1）由已知，∵S_n是a_n²和a_n的等差中項，∴2S_n=a_n²+a_n，且a_n＞0．
當n=1時，2a₁=a₁²+a₁，解得a₁=1．
當n≥2時，有2S_n-1=a_n-1²+a_n-1．
于是2S_n-2S_n-1=a_n²-a_n-1²+a_n-a_n-1，即2a_n=a_n²-a_n-1²+a_n-a_n-1，
∴a_n²-a_n-1²=a_n+a_n-1，即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=a_n+a_n-1．
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=1（n≥2）．
∴數列{a_n}是首項為1，公差為1的等差數列，
∴a_n=n．
（2）∵a_n=n，∴S_n-1005＞

an2

2

，得

n(n+1)

2

-1005＞

n2

2

，∴

n

2

＞1005，∴n＞2010．
由題設，M={2010，2012，…，2998}，
因為m∈M，所以m=2010，2012，…，2998均滿足條件，且這些數組成首項為2010，公差為2的等差數列．
設這個等差數列共有k項，則2010+2（k-1）=2998，
解得k=495．
故集合M中滿足條件的正整數m共有495個，滿足條件的最小正整數m的值為2010．

點評：本題主要考查等差數列的性質，特別是等差數列的通項公式，考查了學生分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．