Question

已知正數數列{a_n}的前n項和為S_n，且對任意的正整數n滿足2

Sn

=an+1．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設bn=

1

an•an+1

，求數列{b_n}的前n項和B_n．

Answer 1

分析：（I）仿寫一個等式，兩式相減，得到數列的項的遞推關系，據此遞推關系，判斷出數列是等差數列，利用等差數列的通項公式求出通項．
（II）將數列的通項裂成兩項的差，通過和眾的項相互抵消，求出數列的前n項和．

解答：解：（Ⅰ）由2

Sn

=an+1，n=1代入得a₁=1，
兩邊平方得4S_n=（a_n+1）²（1），
（1）式中n用n-1代入得4Sn-1=(an-1+1)2

&(n≥2)

（2），
（1）-（2），得4a_n=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²，0=（a_n-1）²-（a_n-1+1）²，（3分）
[（a_n-1）+（a_n-1+1）]•[（a_n-1）-（a_n-1+1）]=0，
由正數數列{a_n}，得a_n-a_n-1=2，
所以數列{a_n}是以1為首項，2為公差的等差數列，有a_n=2n-1．（7分）
（Ⅱ）bn=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
裂項相消得Bn=

n

2n+1

．（14分）

點評：若知數列的和與項的遞推關系求通項，常采用仿寫的方法；求數列的前n項和，一般先判斷通項的特點，然后采用合適的求和方法．