Question

【題目】已知a≤8．函數f（x）＝a1nx﹣x2+5，g（x）＝2x+

（1）若f（x）的極大值為5，求a的值

（2）若關于x的不等式f（x）≤g（x）在區間[1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍，（1n2≈0.7）

Answer 1

【答案】（1）a＝2e；（2）

【解析】

(1)求導后分的不同取值范圍求的最值,進而分析函數的極值再代入求解即可.

(2)構造函數再求導分析單調性,分情況討論最大值再根據最大值求關于參數a的取值范圍即可.

（1）函數f（x）＝a1nx﹣x2+5,函數的定義域為{x|x＞0},

函數的f（x）的導數f′（x）＝﹣2x＝,

當a≤0,則f′（x）＜0,此時函數單調遞減無極大值,∴a＞0,

∴f（x）在（0,）上單調遞增,在（,+∞）上函數單調遞減,

函數f（x）的極大值為：f（）＝5,解得：a＝2e；

（2）關于x的不等式f（x）≤g（x）在區間[1,+∞）上恒成立,

即：a1nx﹣x2+5﹣2x﹣≤0在區間[1,+∞）上恒成立,

令為h（x）＝a1nx﹣x2+5﹣2x﹣,x∈[1,+∞）,

則有：h′（x）＝﹣2x﹣2+＝﹣,

①當a≤2時,h′（x）≤0,h（x）在區間[1,+∞）上單調遞減,

h（x）最大值＝h（1）＝2﹣a≤0,即：a≥2,∴a＝2；

②當a＞2時,h（x）在區間[1,）上單調遞增,在區間（,+∞）上單調遞減,

h（x）最大值＝h（）＝1n﹣+5﹣2≤0,

令＝t∈（1,4],即：t1nt﹣t+5﹣4≤0,令u（t）＝t1nt﹣t+5﹣4,u′（t）＝1nt﹣,

由u（t）在（1,4]上單調遞增,且u′（1）＜0,u′（4）＞0,

知存在t0∈（1,4]使得且u′（t0）＝0,

u（t）在區間（1,t0）上單調遞減,在區間（t0,4]上單調遞增,

又且u（1）＝0,u（4）＝41n4﹣7＝8ln2﹣7＜0,

∴t1nt﹣t+5﹣4≤0,在t∈（1,4]上恒成立,∵已知a≤8,故：2＜a≤8,

即a的取值范圍是：a∈