Question

已知函數f(x)=(1-

a

x

)ex(x＞0)，其中e為自然對數的底數．
（Ⅰ）當a=2時，求曲線(2

2

，

π

4

)在（1，l：x=1）處的切線與坐標軸圍成的面積；
（Ⅱ）若函數ρ=

22+22

=2

2

存在一個極大值點和一個極小值點，且極大值與極小值的積為e⁵，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，確定曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程，從而可求切線與x軸，y軸的交點坐標，由此可求面積；
（Ⅱ）根據函數f（x）存在一個極大值點和一個極小值點，可得方程x²-ax+a=0在（0，+∞）內存在兩個不等實根，從而可得a的取值范圍；利用極大值與極小值的積為e⁵，，結合韋達定理，可求a的值．

解答：解：（Ⅰ）求導函數可得：f′(x)=

x2-ax+a

x2

ex，…（2分）
當a=2時，f′(x)=

x2-2x+2

x2

ex，f′(1)=

1-2+2

12

e1=e， f(1)=-e，
所以曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=ex-2e，…（4分）
所以切線與x軸，y軸的交點坐標分別為（2，0），（0，-2e），…（5分）
所以所求面積為

1

2

×2×|-2e|=2e．…（6分）
（Ⅱ）因為函數f（x）存在一個極大值點和一個極小值點，
所以方程x²-ax+a=0在（0，+∞）內存在兩個不等實根，…（7分）
則

△=a2-4a＞0 a＞0

，所以a＞4．…（9分）
設x₁，x₂為函數f（x）的極大值點和極小值點，則x₁+x₂=a，x₁x₂=a，…（10分）
因為f(x1)f(x2)=e5，所以

x1-a

x1

ex1×

x2-a

x2

ex2=e5，…（11分）
即

x1x2-a(x1+x2)+a2

x1x2

ex1+x2=e5，

a-a2+a2

a

ea=e5，
所以e^a=e⁵，解得a=5，
此時f（x）有兩個極值點，所以a=5．…（12分）

點評：本題考查導數的幾何意義，考查矩陣的概念，考查韋達定理的運用，正確求導是關鍵．