Question

【題目】已知函數，函數在點處的切線斜率為0.

（1）試用含有的式子表示，并討論的單調性；

（2）對于函數圖象上的不同兩點，，如果在函數圖象上存在點，使得在點處的切線，則稱存在“跟隨切線”.特別地，當時，又稱存在“中值跟隨切線”.試問：函數上是否存在兩點使得它存在“中值跟隨切線”，若存在，求出的坐標，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1），單調性見解析；（2）不存在，理由見解析

【解析】

（1）由題意得，即可得；求出函數的導數，再根據、、、分類討論，分別求出、的解集即可得解；

（2）假設滿足條件的、存在，不妨設，且，由題意得可得，令（），構造函數（），求導后證明即可得解.

（1）由題可得函數的定義域為且，

由，整理得.

.

（ⅰ）當時，易知，，時.

故在上單調遞增，在上單調遞減.

（ⅱ）當時，令，解得或，則

①當，即時，在上恒成立，則在上遞增.

②當，即時，當時，；

當時，.

所以在上單調遞增，單調遞減，單調遞增.

③當，即時，當時，；當時，.

所以在上單調遞增，單調遞減，單調遞增.

綜上，當時，在上單調遞增，在單調遞減.

當時，在及上單調遞增；在上單調遞減.

當時，在上遞增.

當時，在及上單調遞增；在上遞減.

（2）滿足條件的、不存在，理由如下：

假設滿足條件的、存在，不妨設，且，

則，

又，

由題可知，整理可得：，

令（），構造函數（）.

則，

所以在上單調遞增，從而，

所以方程無解，即無解.

綜上，滿足條件的A、B不存在.