【題目】如圖，在四棱錐
中，
，
，
，
，
.
（1）證明：平面
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】
（1）取
的中點
，連接
、
，利用勾股定理逆定理證明出
，
，利用線面垂直的判定定理得出
平面
，然后利用面面垂直的判定定理可得出結論；
（2）以點
為坐標原點，、
所在直線分別為
、
軸，以過點且垂直于平面
的直線為
軸，建立空間直角坐標系，求出平面
的法向量和平面
的法向量，利用空間向量法能求出二面角
的余弦值.
（1）取的中點，連接、，
，
，為的中點，則
，
又
，即
，又
，所以，四邊形
為矩形，
，且
，
，
，
，
，則.
，
，則
為等邊三角形，則
，
，則，
，
平面，
平面
，因此，平面
平面；
（2）由（1）知，四邊形為矩形，則
，
以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸，以過點且垂直于平面的直線為軸，建立如下圖的空間直角坐標系，
則
、
、
，
，
，
設平面的法向量為
，
由
，令
，則
，
，
所以，平面的一個法向量為
，
易知平面的一個法向量為
，
，
由圖象可知，二面角的平面角為銳角，它的余弦值為.
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【題目】已知橢圓C:
1(a>b>0)的右頂點為A(2，0)，離心率為
.
（1）求橢圓C的方程；
（2）設過點P(0，﹣2)的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，當△OMN的面積最大時（O為坐標原點），求直線l的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】．
為了解某校高三學生質檢數學成績分布，從該校參加質檢的學生數學成績中抽取一個樣本，并分成5組，繪成如圖所示的頻率分布直方圖．若第一組至第五組數據的頻率之比為
，最后一組數據的頻數是6．
（Ⅰ）估計該校高三學生質檢數學成績在125～140分之間的概率，并求出樣本容量；
（Ⅱ）從樣本中成績在65～95分之間的學生中任選兩人，求至少有一人成績在65～80分之間的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角極坐標系
中，直線
的參數方程為
其中
為參數，其中
為的傾斜角，且其中
，以坐標原點為極點，
軸的正半軸為極軸建立平面直角坐標系，曲線C1的極坐標方程
，曲線C2的極坐標方程
.
(1)求C1、C2的直角坐標方程；
(2)已知點P(-2,0)，與C1交于點
，與C2交于A，B兩點，且
，求的普通方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在極坐標系中，已知曲線
：
和曲線
：
，以極點
為坐標原點，極軸為
軸非負半軸建立平面直角坐標系.
（1）求曲線和曲線的直角坐標方程；
（2）若點
是曲線上一動點，過點作線段
的垂線交曲線于點
，求線段
長度的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖幾何體是圓錐的一部分，它是Rt△ABC（及其內部）以一條直角邊AB所在直線為旋轉軸旋轉150°得到的，AB＝BC＝2，P是弧
上一點，且EB⊥AP.
（1）求∠CBP的大小；
（2）若Q為AE的中點，D為弧
的中點，求二面角Q﹣BD﹣P的余弦值；
（3）直線AC上是否存在一點M，使得B、D、M、Q四點共面？若存在，請說明點M的位置；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】
年
月
日，小劉從各個渠道融資
萬元，在某大學投資一個咖啡店，
年月日正式開業，已知開業第一年運營成本為
萬元，由于工人工資不斷增加及設備維修等，以后每年成本增加
萬元，若每年的銷售額為萬元，用數列
表示前
年的純收入．（注：純收入
前年的總收入
前年的總支出投資額）
（1）試求年平均利潤最大時的年份（年份取正整數）并求出最大值．
（2）若前年的收入達到最大值時，小劉計劃用前年總收入的
對咖啡店進行重新裝修，請問：小劉最早從哪一年對咖啡店進行重新裝修（年份取整數）？并求小劉計劃裝修的費用．
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