Question

【題目】在一個有窮數列的每相鄰兩項之間插入這兩項的和，形成新的數列，我們把這樣的操作稱為該數列的一次“Z拓展”.如數列1，2第1次“Z拓展”后得到數列1，3，2，第2次“Z拓展”后得到數列1，4，3，5，2.設數列a，b，c經過第n次“Z拓展”后所得數列的項數記為Pn，所有項的和記為Sn.

（1）求P1，P2；

（2）若Pn≥2020，求n的最小值；

（3）是否存在實數a，b，c，使得數列{Sn}為等比數列？若存在，求a，b，c滿足的條件；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）P1＝5；P2＝9.（2）n的最小值為10.（3）存在；a，b，c滿足的條件為或者

【解析】

（1）因原數列有3項，經第1次拓展后增加兩項，可得項數P1；經第2次拓展后增加4項，可得項數P2.

（2）因數列每一次拓展是在原數列的相鄰兩項中增加一項，由數列經第n次拓展后的項數為Pn，則經第n+1次拓展后增加的項數為Pn﹣1，可得Pn+1＝Pn+（Pn﹣1）＝2Pn﹣1，變形利用等比數列的通項公式即可得出.

（3）設第n次拓展后數列的各項為a，a1，a2，a3，…，am，c.可得Sn＝a+a1+a2+a3+…+am+c，因數列每一次拓展是在原數列的相鄰兩項中增加這兩項的和，可得Sn+1＝a+（a+a1）+a1+（a1+a2）+a2+（a2+a3）+…+am+（am+c）+c，可得Sn+1＝3Sn﹣（a+c），變形利用等比數列的通項公式即可得出.

（1）因原數列有3項，經第1次拓展后的項數P1＝3+2＝5；

經第2次拓展后的項數P2＝5+4＝9.

（2）因數列每一次拓展是在原數列的相鄰兩項中增加一項，

由數列經第n次拓展后的項數為Pn，則經第n+1次拓展后增加的項數為Pn﹣1，

所以Pn+1＝Pn+（Pn﹣1）＝2Pn﹣1

所以Pn+1﹣1＝2Pn﹣2＝2（Pn﹣1），

由（1）知P1﹣1＝4，

所以，

由，即2n+1≥2019，解得n≥10

所以n的最小值為10.

（3）設第n次拓展后數列的各項為a，a1，a2，a3，…，am，c

所以Sn＝a+a1+a2+a3+…+am+c

因數列每一次拓展是在原數列的相鄰兩項中增加這兩項的和，

所以Sn+1＝a+（a+a1）+a1+（a1+a2）+a2+（a2+a3）+…+am+（am+c）+c

即Sn+1＝2a+3a1+3a2+…+3am+2c

所以Sn+1＝3Sn﹣（a+c），

得

由S1＝2a+3b+2c，則，

若使Sn為等比數列，則或

所以，a，b，c滿足的條件為或者.