Question

如圖，在三棱柱中，側面，均為正方形，∠,點是棱的中點.

（Ⅰ）求證：⊥平面；
（Ⅱ）求證：平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值

Answer 1

（Ⅰ）證明略
（Ⅱ）證明略
（Ⅲ）

（Ⅰ）證明：因為側面，均為正方形，
所以,
所以平面，三棱柱是直三棱柱. 　　　………………1分
因為平面，所以，　　　　　　　　　 ………………2分
又因為，為中點，
所以.             ……………3分
因為,
所以平面.      ……………4分
（Ⅱ）證明：連結，交于點，連結，

因為為正方形，所以為中點，
又為中點，所以為中位線，
所以，           ………………6分
因為平面，平面，
所以平面.      ………………8分
(Ⅲ)解： 因為側面，均為正方形， ，
所以兩兩互相垂直，如圖所示建立直角坐標系.
設，則.
，                            ………………9分
設平面的法向量為，則有
，， ，
取，得.                                 ………………10分
又因為平面，所以平面的法向量為，………11分
，                         ………………12分
因為二面角是鈍角，
所以，二面角的余弦值為.                 ………………13分