Question

（本小題滿分14分）
如圖，四棱錐的底面為菱形，平面，，、分別為、的中點。
（I）求證：平面；
  （Ⅱ）求三棱錐的體積；
（Ⅲ）求平面與平面所成的銳二面角大小的余弦值。

Answer 1

（1）略
（2）
（3）

證明：（I）連結BD，由已知得BD=2，


在正三角形BCD中，BE=EC，
，又，
        ………… 2分
又平面，
，       …………3分
，
平面PAD。 …………4分
（Ⅱ），
且，    …… 5分
 
…… 8分
（Ⅲ）證法一：如圖建立空間直角坐標系，
則由（I）知平面的一個法向量為
，

設平面PBC的法向量為，
由
取得                                   …………11分
                     …………13分
平面PAD與平面PBC所成的銳二面角大小的余弦值為    …………14分
證法二：由（I）知平面平面，
平面平面                                    …………9分
又
平面又平面
平面平面                                    …………10分
就是平面與平面所成二面角的平面角       …………12分
在中，
                                …………14分