Question

（本小題滿分12分）

為了加快經濟的發展，某市選擇A、B兩區作為龍頭帶動周邊地區的發展，決定在A、B兩區的周邊修建城際快速通道，假設A、B兩區相距個單位距離，城際快速通道所在的曲線為E，使快速通道E上的點到兩區的距離之和為4個單位距離.

   （Ⅰ）以線段AB的中點O為原點建立如圖所示的直角坐標系，求城際快速通道所在曲線E的方程；

   （Ⅱ）若有一條斜率為的筆直公路l與曲線E交于P，Q兩點，同時在曲線E上建一個加油站M（橫坐標為負值）滿足,求面積的最大值．                                

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） ；（Ⅱ）面積的最大值為.

【解析】本試題主要是考查了圓錐曲線的 定義法求解軌跡方程，然后結合直線與橢圓的位置關系和點到線的距離和三角形的面積公式得到求解。

（1）因為設點T為曲線E上的任意一點，則|TA|+|TB|=4，|AB|=2，結合橢圓的定義得到曲線方程。

（2）設出直線PQ的方程與橢圓方程聯立，得到關于x的一元二次方程，然后結合韋達定理和點到直線的距離公式表示出三角形的面積得到結論。

解：（Ⅰ）設點為曲線上的任意一點，則

所以曲線的軌跡為橢圓，，所以橢圓方程為  ………4分

（Ⅱ）設直線PQ的方程為,設

代入橢圓方程并化簡得,             

由,可得 .    ()      …………………5分

由,

故.                 ………………………………7分         

又，且的橫坐標又為負值，所以點的坐標為  

所以點到的距離為,                        ……………………………9分

故,

當且僅當,即時取等號(滿足式)

所以面積的最大值為.                   …………………………………12分